Was ist eine SektANTE? Sekanten sind lineare Funktionen, welche den Graphen durch 2 Punkte schneiden, wie jede lineare Funktion hat der Graph eine Steigung.
Die zwei Punkte nennen wir p und q
p(x / f(x)) und q (x+h / f(x+h)
Sollen wir nun die Steigung der Sekante ermitteln verwenden wir dafür den Differenzenquotienten ((f(x+h)-f(x)) : h ) aus ((y2-y2)
x2-x1) ist dasselbe, nur ohne h).
Beispiel berechne die Sektantensteigung der Funktion f(x)=x² an der Stelle x0=3
Jetzt tragen wirdie Stelle 3 in die Punkte ein
p(3/f(x)) und q ( 3+h/f(x)+h)
Das setzen wir in die Formel vom Differenzquotienten ein
= ( 3+h)²-3²/h
Erklärung
die Stelle kommt vorne in die Klammer rein und dann +h )² und dann noch mal hinter das Minus für sich zum Quadrat
Dann rechnest du immer den Binom aus
( 3+h)( 3+h)-3²/h
9+6h+h²-9 /h
Jetzt kürzt sich fast immer das erste und das letzte Weg
wir habenb 6h+h²/h
und kürzen jetzt das h unterm Bruchstrch weg
6+h
jetzt machen wir LIM also h läuft gegen NULL
und bekommen 6
Wenn wir das nun überprüfen und "manuell" die Ableitung bilden
dann erhalten wir
f´(x)=2x
und wenn wir eine 3 einsetzen
f´(3)=2 mal 3 = 6
stimmt also
Übung
Berechne die Steigung der Funktion f(x)=x³ an der Stelle a) x0=1, b) x0= 1,5 c) x=5
Berechne die Steigung der Funktion f(x) 3x²-x an der Stelle a= 3 b = 7
