Elemente der Mathematik Klasse Neun Lösung für GÖNKE

Musterlösung für Seite 139 Nummer 35.

Ich habe andere Zahlen genommen, ich will es Euch ja nicht vorsagen sondern nur bei der Lösung helfen.

Aufgabe
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypothenuse 5 cm lang, der Umfang beträgt 12 cm. Wie lang sind die fehlenden Seiten?

Gegeben
c= 5 cm
U =12 cm

Gesucht
a
b
Formeln
a²+b²=c²
U = a+b+c

Wir haben ZWEI Unbekannte nämlich a und b
und darum brauchen wir auch zwei Gleichunge
I a²+b²=5²
II a+b+c= 12

Wir wissen ja was c ist darum dürfen wir das schon in II schreiben

I a²+b²=5²
II a+b+5= 12

Getreu dem Motto halte deine Gleichung sauber füllen wir das jetzt auch aus und rechnen schon einmal alles wichtige aus

I a²+b²=25
II a+b= 7

Jetzt eine Gleichung umstellen
wir nehmen die II die ist schöner

I a²+b²=25
II a= 7-b

und in I einsetzen
I (7-b)²+b²=25
II a= 7-b

Jetzt rechnen wir einmal alles aus : ACHTUNG DA IST EIN BINOM
I 49-14b +b²+b²=25
II a= 7-b

Alles auf eine Seite packen

I 24-14b +2b²=0
II a= 7-b

I 24-14b +2b²=0 durch 2 teilen damit b² allein steht

b²-7b+12=0
Jetzt mit PQ der der Quadratischen Ergänzung lösen
1. Möglichkeit Quadratische Ergänzung

b²-7b+12 + 12,25 - 12,25=0

sortieren
b²-7b + 12,25 +12 - 12,25=0

Binom zusammenfassen

(b-3,5)² +12 - 12,25=0

Zusammenrechnen

(b-3,5)²- 0,25=0
Das mit nix rüber holen
(b-3,5)²= 0,25
Wurzel ziehen

b-3,5= 0,5 UND b-3,5= - 0,5

Beide Gleichungen PLUS 3,5
b1 =4 b2= 3

2. Mögichkeit pq Formel
b²-7b+12=0
p= -7
q=12

3,5 +- WURZEL AUS ( 3,3²-12)
3,5 + Wurzel aus 0,25
3,5 - Wurzel aus 0,25
b1 =4 b2= 3

Jetzt müssen wir nach a ausrechnen

a= 7-3= 4
a = 7-4= 3


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