Die kleine und die etwas grössere Unendlichkeit

06-089

Als ich damals als Kind erfahren habe, dass es unendlich viele Zahlen gäbe, war das für mich eine ungeheuerliche Vorstellung. Ich habe mir beim Einschlafen vorzustellen versucht, wie eine Schar von etwas aussieht, von dem es unendlich viele gibt: immer mehr und immer mehr am hinteren Rand – und ein metaphysischer Schauer war immer die Folge.

Um diesem Nachdenken wieder ein wenig Futter zu geben, hier eine hübsche Quiz-Frage: Sind alle unendlichen Größen gleich groß? 

Meine Antwort war Ja, denn unendlich ist unendlich. Die Antwort der Mathematiker ist ganz klar nein. Der Deutsche Mathematiker Georg Cantor, (1845-1918), Begründer der Mengenlehre, hat das als Erster bewiesen. Damit hat er sich allerdings damals in die Nesseln gesetzt und hatte einen schweren Stand unter seinen Kollegen. Heute ist die Existenz unterschiedlicher unendlicher Größen allgemein akzeptiert – auch wenn es für unseren “gesunden Menschenverstand” immer noch komisch klingt.

Mit zahlreichen Gedankenexperimenten kann man das aber trotzdem (ansatzweise) nachvollziehen. Ein hübsches Beispiel dazu ist das Gasthaus zur Unendlichkeit.

Im Gasthaus zur Unendlichkeit

Das Gasthaus zur Unendlichkeit hat unendlich viele Zimmer. Nun geschah es einmal, dass eine unendlich große Fußballmannschaft auftauchte (mit einem Riesenbus), und die belegten alle Zimmer des schönen Hotels: Der Spieler mit der Nummer 1 auf dem Trikot kam ins Zimmer 1, der mit dem 2 auf dem Rücken ins Zimmer 2 usw.

Am späten Abend kam aber dummerweise noch eine zweite unendlich große Fußballmannschaft mit einem anderen Riesenbus an. Der Rezeptionist war aber unbekümmert. Er bat einfach die Spieler der bereits eingetroffenen Fußballer, ihre Zimmer zu wechseln. Und zwar soll jeder Spieler in das Zimmer umziehen, dessen Zimmernummer genau dem Doppelten seiner Trikotnummer entsprach. Der mit der Nummer 1 ging also in das Zimmer 2, der mit der Nummer 2 ins Zimmer 4, der mit der 3 ins Zimmer 6 und so weiter. Jetzt waren von der ersten Mannschaft nur noch die Zimmer mit geraden Zahlen belegt. Die mit den ungeraden Zimmernummern waren alle wieder frei. Dort durfte nun die zweite unendlich große Mannschaft einchecken.

Es ist offensichtlich, dass danach doppelt so viele Fußballer im Gasthaus untergebracht waren. Die Unendlichkeit hat sich also verdoppelt.

Die kleine und die etwas grössere UnendlichkeitDiesen amüsanten Gedankengang (und viele mehr) habe ich aus dem preisgekrönten humoristischen Büchlein “Coincidences, Chaos and All That Math Jazz” vom amerikanischen Mathematikprofessor Edward B.Burger. Der deutsche Buchtitel trifft den Inhalt nicht so ganz “Wie man den Jackpot knackt”. Leider steht darüber nichts. Das Taschenbuch in deutsch ist leider vergriffen.

Es ist merkwürdig, wie man allein durch mathematische Überlegungen richtig ins Grübeln kommen kann!

 


BILD: Von Blume zu Blume / 20cm x 29cm / Filzstift auf Papier / 2006, Nr.06-089


 


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