Vektors

anke für den Mamai TIppmensional denkt, dann beschreibt eine Zahl die Lage in der Höhe ( oben oder unten), eine in der Breite ( links oder rechts) und eine die Nähe zum Nullpunkt nach vorn oder hinten.

Man kann verschiedene Systeme voneinander unterschieden. Ein System heißt dann Rechstssystem, wenn die erste Achse nach vorn zeigt, die zweite nach links oder rechts und die dritte nach oben und unten.

Einen Vektor, den man mit drei Koordninaten versehen hat,nennt man Trippel. Wenn alle drei Koordinaten Null sind, dann nennt man diesen besonderen Vektor den Nullvektor.

Veranschaulichen kann man einen Vektor durch Pfeile. Verschiebungen kann man auch durch Vektoren deutlich machen, so wird dann aus dem Punkt P der Verktor P´.

Die Länge eines Vektors kann man berechnen indem man die einzelnen Koordinaten zunächst quadriert, dann addiert und dann die Wurzel aus der Summe zieht.
BILD BETRAG
Immer wenn man eine Fläche ausrechnen möchte oder wissen will wie weit etwas entfernt ist,braucht man direkt oder indirekt den Betrag.

Will man einen Vektor herstellen rechnet man einfach den Punkt der Spitze minus dem Punkt vom Schaft.

Baut man eine Geradengleichung aus zwei Punkten, so kann man den ersten Punkt einfach hinschreiben ( es handelt sich um den Orstvektor) und ann hinter ie Variable B-A dies ist er Richtungsvektor.

Berechnet man die Gleichung einer Ebene geht man ähnlich vor:
Das erste ist einfach ein Punkt der Ortsvektor, der zweite ist wieder wie bei der Gerade B-A und der dritte C-A

Man kann einfach in einem System versuchen andere Punkte herauszufinden, indem man sich orientiert wie weit man nach rechts / links , oben / unten, vorn / hinten geht. Besonders einfach geht das wenn, man einen Würfel hat,der ist ja überall gleich lang sind.

SKIZZE WÜRFEL

Man kann Vektoren addieren und subtraieren. Das addieren und Subtrahieren von Vektoren ist einfach. Gehen wir mal von dreidimensionalen Vektoren aus: Dann rechnet man einfach oben + oben = zahl oben hinschreiben
Mitte plus Mitte= Zahl in die Mitte schreiben
Unten plus Unten= Zahl unten hinschreiben

Bei Minus ist es dann genau das Selbe,nur dass man MINUS statt PLUS rechnet. Addiert man einen Vektor mit einem anderen, dann bedeutet das so viel wie, dass man erst den einen Vektor entlang geht und dann den anderen. Rechnet man minus, dann geht man erst den Vektor in die eine Richtung und dann zurück so lange wie der andere Vektor ist ( die Erklärung ist jetzt Quick and Dirty )

addieren wir zwei Vektoren miteindander, so bildet sich ein Dreieck. Die Endpunkte der Urspurngsvektoren lassen sich verbinden, ein neuer Vektor entsteht. BILD DREICK

Vektor a + Vektor b = ergibt Vektor c

TI npire: Zunächst als Liste eingeben, it Hilfe von STO store spreichern und als L1 und L2 also Liste 1 und Liste 2 speichern. Addiert wird koordinatenweise S 338
Es gelten die Rechengesetze Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und die Existenz des neutralen Element

Ursprungsgeraden S 340
Immer wenn man einen bestimmten Punkt im Koordinatensystem hat, kann man ihn zugleich als Ursprungsgeraden darstellen. Der Ursprung liegt bei O 0/0/0 . Möchte man wissen wie weit der Weg vom Ursprung zum Punkt ist,so kann man einfach den Betrag des Vektors berechnen.

Das Mulitiiplizieren oder vervielfachen von Vektoren ist nicht ganz so simpel.

Man sollte zunächst differnzieren,ob man mit einem Vektor oder mit einem Faktor mulitpliziert. Multipliziert man den Vektor mit einem Faktor, so nimmt man jede koordinate einzelnd mit der Zahl mal, die Ergebnisse werden dann je oben, unten,mittig notiert.

In der Praxis wird das angewendet, wenn ein Vektor zum Beispiel die Bewegung eines Fahrzeuges im Raum darstellen soll. Die Variable mit der wir den Vektor malnehmen stellt den neuen Punkt dar. Man sagt, dass der Vektor koorinatenweise vervielfacht wird.

Geometrisch ahtes die bedeutetung, dass man unterscheiden muss ob der Faktor größer oder kleiner als Null ist. Ist der Faktor größer. So hat der Vektor eine entsprechend dem Faktor mal große Länge
Ist es kleiner als Null hat der Vektor einen GEGENVektor

Wasist ein Gegenvektor
Während der Vektor in einer Richtung schaut, sieht der Gegenvektor genau in die entgegenstestze Richtung. Man erhält ihn, indem man beim Vektor die Vorzeichen Koordniatenweise umkehrt.
Der Geegenvektor hat die selbe Länge aber genau die entgegenegsetzte Richtung

Was ist denn eine Punktprobe?

Möchte man wissen, ob auf einer Gerade ein bestimmter Punkt ist, so muss man eine Punktprobe durchführen. Immer wenn man etwas schneidenmöchtemuss man GLEICHSETZEN.
In diesem Fall nehme ich aber eine viel einfachere Variante. In jeder Gerade befindet sich ja auch eine Variable, mal heißt sie My mal Lamba. In jedem Fall berechnen wir nun Ebene für Ebene wie hoch der Wert von Lambda ist ( einfach nach Lambda umstellen ) und wenn auf allen drei Ebenen ( wenn wir ein Dreidimensionales System haben ) das selbe rauskommt, dann liegt der Punkt auf der Geraden.

TI npire: Man multipliziert die Listen koordinatenweise und bekommt auf jeder Ebene das selbe raus.

Eine Parameterdarstellung von >Geraden bekommt man, indem man sie aus drei Punkten baut
g:X = A + B-A * Lambda

Was sind Spurpunkte?

Spurpunkte sind die Schnittpunkte von Geraden mit den Koorindatenachsen. Diese haben immer folgende Vektoren ( 0 0 1) ( 0 1 0 ) ( 1 0 0 )

Soll man die Spurpunkte einer Gerade bestimmen, dann gilt, wenn die Gerade die Ebene zwischen x1 und x2 schneidet, dass x3 =0 sein muss. Aus der Vektorgleichung folgt nun lamba =1, welches man dann einfach statt Lambda in die Gleichung einsetzt und mit dem Richtungsvektor koordinatenweise multipliziert.

Lagebeziehung von Geraden

Geraden kann man sich als Striche veranschaulichen. Möchte man sich das dreidimensional vor Augen führen, so kann man sich ein paar Stifte schnappen. Geraden haben immer genau einen Schnittpunkt

Geraden können auf verschiedene Arten angeordnet sein
windschief – haben verschiedene Richtungen, liegen nicht in einer Ebene und schneiden sich auch nicht
parallel- haben die selbe Richtung und scheiden sich nicht,liegen aber in einer Ebene
gleich liegen in einer Ebene, schneiden sich an jedem Punkt und haben die selbe Richtung
mit Schnittpunkt haben genau einen Schnittpunkt
ausserdem können sie noch orthogonal sein, also im rechten Winkel zueinander stehen
Wir prüfen in folgender Reihenfolge ab
Zunächst schauen wir ob die Geraden parallel sind. Wenn sie Parallel zueinander sind haben sie die selben Richtungsvektoren. Die müssen aber nicht unbedingt immer gleich ausehen. Was können wir also machen:
Wir setzen die beiden Richtungsvektoren gleich und hängen hinter einen der beiden eine Variable ( zum Beispiel x) und rechnen x koordinatenweise aus – ähnlich wie bei der Punktprobe. Nun muss, wenn die Geraden parallel sein sollen, auf jeder Ebene das selbe x rauskommen. Ist das so, dann können sie gleich sein oder Parallel. Wenn nicht können sie einen Schnittpunkt haben oder WINDSCHIEF SEIN
Prüfen ob GLEICH oder PARALLEL
Wir prüfen ab, ob wir für Lambda und my zahlen einsetzen können, wo wir auf der einen Seite dann das selbe heraushaben wie auf der anderen. Wenn dies der Fall ist, dann sind sie gleich, ist demnicht so ist sie parallel.
PRÜFEN OB SCHNITTpunkt ODER WINDschief
Hierfür berechnen wir einfach den Schnittpunkt, wenn dieses nicht existieren sollte, dann sind sie windschief.
Schnittpunkt berechnen:
Immer wenn man einen Schnittpunkt berechnen muss, muss man das gleichsetzen. Also setzen wir die Geraden gleich.
Im nächsten Schritt lösen wir die Ebenen auf und machen aus den zwei Geraden ein lineares Gleichungssystem mit drei Ebenen und zwei Unbekannten ( das also locker lösbar sein dürfte).
Nun rechnen wir unsere Variablen My und Lambda einfach aus.

TI npire: Hierbei geben wir die Matrix ein und lösenmit rref auf.

Nun bekommen wir für My und Lambda je eine Zahl raus. Wir schnappen uns die Geraden wieder ganz normal in ihrer Koordniatenschreibweise. Wir setzen in die Gleichung mit My statt My die Zahl ein. Heraus kommt eine Trippel, also wieder drei Zahlen unterneinander. Ein Pubnkt. Das ist unser Schnittpunkt. Soweit kommt immer ein Schnittpunkt raus, aber wenn wir wissen wollen ob es WIRKLICH einer ist, dann brauchen wir die zweite Gleichung.
Da setzten wir in die Geradengleichung unser Lambda ein. Herauskommen muss der selbe Punkt wie in der anderen Geradengleichung, da sonst zwei Schnittpunkte vorhanden wären, was ja nicht geht.
Kommt er heraus, haben wir einen Schnittpunkt, wenn nicht haben wir keinen und wenn wir alles andere abgeprüft haben sind die geraden dann windschief.
Um den Schnittpunkt mit einer Gerade und einem Punkt auszurechnen machen wir die Punktprobe ( LINK)

Manches kann man auch schon auf einem Blick erkennen, wenn zum Beispiel der Ortsvektor also der erste, gleich ist,dann kann es ja nur ein Schnittpunkt sein. Wenn man mal grob rechnet,ob es ein Vielfaches der Richtungsvektoren gibt, dann weiß man schon, die können nur gleich oder parallel sein..

orthogonal – rechter Winkel

In unserer Welt haben rechtwinklig angeordnete Ebenen oder Geraden eine besondere Bedeutung. Bauen wäre ohne dies gar nicht möglich.
Wenn etwas im rechten Winkel auf einer anderen Ebene steht,so nennt man dies orthogonal. Wenn Geraden zueinander orthogonal sind, dann haben sie immer einen Schnittpunkt.

Um dies auszurechnen brauchen wir das sogenannte Skalarprodukt. Man berechnet dabei oben mal oben plus mitte mal mitte plus unten mal unten. Heraus kommt eine Zahl, kein Trippel!
Zwei Vektoren sind dann zueinander orthogonal, wenn das Skalarprodukt Null ergibt. Der Begriff Skalarprodukt entsteht zum einen aus der Berechnungsart ( malnehmen ergibt ein Produkt ) und Skalar bedeutet das es sich um eine einzelne Zahl handelt.

In den TI Inspire Rechnern gibt es eine eigene Option für das Skalarprodukt – wichtig ist, dass Du den herauskommenden Wert interpretieren kannst.mit dotP kann man das Skalarprodukt berechnen. Anders kann man das durch zwei Listen lösen,die mit dem Befehl SUM über das Menü List Math eingegben werden.

Wenn wir nun zwei Vektoren haben, die nicht gleich dem Nullvektor sind, kann man den Richtungsunterschied mit dem Winkel messen wie folgt;
u mal v= Betrag von u mal Betrag von v mal cos Gamma

Genrell gelten in den Dreiecken die normalen Winkel und Winkelfunktionen.

Berechnen wir einfach zwei Winkel im Ruam, zum Beispiel von zwei Vektoren oder von zwei Geraden, dann
rechnen wir
cos Gamma = u mal v durch ( u zum Betrag mal v zum Betrag )
TI nprie
cos -1 ( dotP (u,v)/norm(u)*norm(v)
muss im DEG Modus

Abstände zwischen Geraden / Punkten

Wollen wir den Abstand zwischen zwei Punkten berechen,zum Beispiel zwischen meinem Büro und meinem Garten, dann zieht man einfach einen Vektor zwischen A und Bund berechnet deren Länge.

Wenn wir wissen wollen wie hoch ein Flugzeug über einen Ort fliegt,wie tief ein Uboot unter ein Schiff durchtaucht oder ähnliches, dann wird es Zeit den Abstand zu berechnen.
Wir gehen dabei folgender maßen vor.
Abstand zwischen einem Punkt und einer Geradengleichung
Wir lösen die Gleichung koordninatenweise auf
Setzen es in die Abstandsformel
ABSTADN =Wurzel aus ( Oben Punkt – Wert mit Lambda)²+( Mitte Punkt – Wert mit Lambda )² usw
mmh das mit Lambda,wie machen wir das jetzt? Hier müssen wir mit den Binomen arbeiten, und anschließend zusammenfassen
unter derWurzel kommt dann eine Quadratische Funktion raus, die schon sehr nach pq Formel schreit
Die Entfernung ist also von Lambda abhänigig, in unserem Fall unsere Variable, die man auch x nennen könnte oder anders.
Dies können wir nun in Form einer Wertetabelle und als Grafik mit dem TI ansheen. Jetzt schauen wir,wo ist Lambda am kleinsten, der Abstand also minimal? ( siehe auch how to make a kurvendiskussion quadratische Funktionen)
Das Miniumum ( link how to make a kurvendiskusion ) erhalten wir am einfachsten, indem wir die Funktion einfach ableiten und dann das Minimum berechnen.

Abstand zwischen zwei Geradengleichung Wenn zwei Geraden windschief voneinander sind kann es besonders interessant sein den Abstand zu berechnen. Manchmal möchte man den größten und manchmal den kleinsten Abstand zwischen ihnen sehen.

Wir rechnen Gerade 1 – Gerade zwei und bekommen ein Gleichungssystem
Die Ortsvektoren können wir einfach so voneinander abziehen, der eine Richtungsvektor bleibt stehen und beim anderen erhalten wir durch das Subtrahieren den Gegenvektor.

Die Reichtungsvektoren setzen wir gleich Null. Hier rechnen wir dann wieder die zwei Variablen My und Lambda mit Hilfe von rref aus. Wenn das Gleichungssystem wieder eine einzelne Lösung hat, dann setzen wir das wieder in die Abstandsformel ein. Die Abstandsformel kommt diesmal ohne Variable aus, darum brauchen wir auch eien Binome.( S 372)

Ebenen

Ebenen umgeben uns immer und überall. Man kann sich das ganz einfach vorstellen, indem man sich ein Blatt vornimmt. Dies kann eine Ebene repräsentieren.
Eine Ebene kann durch verschiedene Faktoren festgelegt sein
Sie kann sich durch drei Punkte aufbauen
Durch zwei Geraden ( entweder zwischen zwei die parallel sind oder zwischen zwei sich schneidenden Geraden)
Durch eine Gerade und einen Punkt ( der natürlich nicht darauf liegt)

Es gibt verschiedene Formen der Darstellung
man kann Koordinaten und Parameterdarstellung
Hessche Normalform
die Normalform unterscheiden.
Körper sind häufig aus Ebenen aufgebaut, darum ist es gut zu verstehen wie sie funktionieren.

Auch bei Ebenen kann man wieder eine Punktprobe machen. Man setzt den Punkt wieder mit der Ebene gleich, löst die Ebenen koordinatenweise auf und rechnet wiederum die Variablen aus.

Wie bestimmt man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene?
Man zieht einenLotfuss
Ortsvektor von der Ebene hiervon wird der Punkt abgezogen, der Rest mit My und Lambda hinten dran hängen.
Jetzt berechnen wir mit die Skalarprodukte und dann wird das in die Abstandsformel eingepflegt.
In dem Fall rechet man die Wurzel aus (obesumme-obenpunkt)² + ( mittesumme-mittepunkt)²...

Es handelt sich um ein Lineares Gleichungssystem.
Definition wie man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene bestimmen kann:
Man hat einen Punkt P mit dem Ortsvektor p und eine Ebene mit der Parametergleichung
a+ Lambda u+ My v
Die Parameter von Lambda und My des Lotfusspunktes LFP von P auf die Ebene bekommt man durch das Lösen des folgenden Linearen Gleichungssystems

λ ( u*v)+μ(u*v)=(p-a)*u
λ( u*v)+μ(u*v)= (p-a)*v
wir lösen das wie ein lineares Gleichungssystem.
Mit dem TI nspire geht das wie folgt. Man gibt den Vektor a ein, und den Vektor u
und berechnet das mit folgender Formel
dotP(u,u) dot P (u,v) Dop P( p-a,u)
dotp( u,v) dotP ( v,v) DotP( p-a,v)
beides in Klammern ( is ja ein linares Gleichungssystem)---< m
rref(m)

Von der Parametergleichung zur Koordinatengleichung

Jede Ebene hat eine Normale, so nennt man etwas das orthogonal zu etwas steht. Es handelt sich um eine Gerade, die eine Lotgerade einer Ebene ist. Alle Lotgeraden sind einander gegenüber parallel. Man kann die Vektoren auch Normalenvektor nennen.

Eine Ebene kann definiert werden über einen Normalenvektor der Ebene und den Punkt der in der Ebene liegt. Mit Hilfe dieser Werte kommen wir auch zu einer anderen Darstellungsform von Ebene, zur Koordinatengleichung. Während wir bei der Parametergleichung immer die drei Vektoren als Trippel mit allen Koordinaten, einem Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren vorliegen haben, erkennen wir hier die Ortsvektoren und Richtungsvektoren nicht so einfach.

Das wird quasi zusammengebaut – einmal der Normalenvektor nebeneinander und einmal der Abstand vom Punkt zum Ursprung

Zunächst haben wir einen Normalvektor der Ebene und einen Punkt
gesucht ist die Ebenengleichung in Koordinatenform.
Man rechnent den Normalenvektor mal den Punkt immer Koordinate für Koordinate und dann die Zahlen addieren --- also das Skalarprodukt aus dem Normalvektor und dem Punkt. Hier kommt eine Zahl raus.
Und nun lässt sich das einfach nebeneinander schreiben:
n1+n2+n3=Skalarprodukt
Koordinaten des Normalvektors = Skalarprodukt aus Normalvektor und Punkt

Jetzt solltest Du das hin und her rechnen üben, denn selten tritt die Ebene nur so auf, bzw muss nicht umgerechnet werden.

Zunächst
Ebene aus drei Punkten bauen in der Parametergleichung

Ebene ist: A einfach hinschreiben + (B-A)λ+ (C-A)μ
Der erste ist ein Ortsvektor und die beiden Zweiten sind Richtungsvektoren

So- jetzt schauen wir mal- wie kommen wir denn von der Koordinatendarstellung zur Parametergleichung? Die sieht ja wie oben aus und ist so aufgebaut..
Also wie haben eine Gleichung, die aus einem Normalvektor und einer Abstandzahl besteht

Jetzt müssen wir drei Punkte finden, die in der Ebene liegen, damit wir uns wieder so eine Ebene bauen können auf dem Weg wie oben.
Den ersten Punkt A kriegt man immer indem man sich den Abstand hinter dem Gleichzeichnen nimmt und dann als x1 Koordinate von A nimmt, alle anderen sind O, umstellen falls nötig A ( Abstand 0 0 )
Den zweiten Punkt B findet ihr indem ihr die Gleichung x1+x2+x3=Abstand als Formel verwendet Ihr setzt einfach x1 und x3 =0 und erhaltet dann wenn ihr umstellt ( falls ihr müsst) den Wert für x2, denn ihr in Punkt B bratet ( 0 / Ergebnis /0 )
nun haben wir schon zwei Punkte, fehlt nur noch einer.
Jetzt wieder als Formel verwenden und ihr könnt dann ja nun alle gleich null setzen ausser x3, und vola umstellen und here we go
C ( 0 0 Ergenis)

Jetzt Parametergleichung bauen.

Von der Parametergleichung zur Koordinatengleichung ist es nicht ganz so einfach- man muss den Normalvektor finden. Nun kann es ja ganz viele Vektoren geben, die senkrecht auf der Ebene stehen. Wenn man sich einen Stift nimmt und ihn auf das Buch stellt kann er ja vorne stehen, hinten oder an der Seite – alles möglich

Einen Normalenvektor findet man indem man sich eine ein Trippel sucht, mit dem das Skalarprodukt NULL wäre, hierbei nehmen wir die Richtungsvektoren!!

Zum Beispiel haben wir den Richtungsvektor ( 6/4/2). jetzt suchen wir den Normalvektor ( a/ b/c) und wenn wir 6a+4b+2c hätten dann müsste da Null rauskommen

2*6+4*-9+2*3=0 käme heraus. Wie habe ich das rausbekommen? Durch knobeln
Ich schnappe mir einfach die erste Zahl und nehme sie mit einer Zahl von 1-10 mal, dann nehme ich die zweite Zahl mit einer Zahl mal,sodass ich in die Nähe von der ersten komme nur negativ also 12-18, dann weiß ich es kommt -6 raus und muss diese -6 jetzt nur noch durch 2 teilen ( weil das ja die Letzte ist ) und weiß, wenn ich sie mit 3 malnehme kommt +6 raus und hebt sich mit -6 auf
Mein Normalvektor vom Richtungsvektor ist also
n(6 -9 3) hätte auch eine andere Zahlenkombi sein können, aber die habe ich jetzt mal ausgesucht.
Jetzt nehme ich mir den Ortsvektor von der Ebene ( 1 2 3 ) also das erste Trippel – das ist ja immer ein Punkt und um eine Koordinatenform herzustellen brauche ich immer einen Punkt und einen Normalvektor. Jetzt nehme ich das einfach wieder miteinander mal und addiere das, bilde also wieder ein Skalarprodukt

1*6+2*-9+3*3 sind 6 -18+9 sind -3
meine Koordinatenform lautet also
6x1 -9x2+3x3= -3

Aus dieser Form der Ebene, aus der Koordinaten Forml,lässt sich die Hessesche Normalenform bauen.
Diese kann man immer als Formel verwenden, um einen Punkt ( wenn man den statt eins einsetzt), den Abstand von der Ebene zu berechnen.Die Hessche Normalenform ist praktisch, auch wenn ihr Aussehen etwas monströs anmutet.
Was genau ist das denn, diese Normalenform? Bei der Hesseschen Normalenform hat der Normalvektor die Länge 1 bekommt man diese Normalenform heraus

Als Formel wird folgendes Angegeben
der Normalvektor hat ( a b c 9 die Normalenform
ax1+bx2+cx3=d
hieraus kann man nun die Formel bauen
D: ax1+bx2+cx3-d
------- ----- ------- =0
Wurzel aus a²+b²+c²

Lagebeziehung

Ebene und Gerade
Eine Ebene und eine Gerade können
sich schneiden
parallel können sie sein
die Gerade kann in der Ebene liegen
Sie können voneinander entfernt liegen, windschief sein

Bringt zunächst alles in die Parameterdarstellung,so kann man besser arbeiten
Um herauszufinden, ob ein Punkt in der Ebene liegt, machen wir einen Punktprobe:
( also auch ob eine Gerade eine Ebene schneidet, dann liegt nämlich die Ebene geschnitten mit der Gerade) wir untersuchen also ob es einen Punkt S gibt, der in E und in G liegt
Wir setzen die Gerade mit dem Ebensystem gleich und erhalten ein linares Gleichungssystem mit drei Unbekannten
das können wir wieder mtid em Gausschen Algorithmus mit rref( ) auflösen
Wir bekommen dies in der Diagonalenform angezeigt

Wenn wir einen Widerspruch entdecken können zum Beispiel 0=1 dann gilt das system als nicht lösbar, dann schneidet der Grapf die Ebene nicht – es gibt keine gemeinsamen Punkte, also liegen Ebene und Gerade zueinander parallel

Ebene und Ebene – Lagebeziehung
Ebenen untereinander untersucht man am Besten in der Koordinatenform.
Man setzt die Gleichungen gleich und erhält ein Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten, aber leider nur zwei Ebenen. Das ist ein Dilemma. Das heißt wir haben für beide Gleichungen eine Variable hinter dem Gleichheitszeichen. Also suchen wir uns für c eine Zahl aus, ich empfehle die 1.
Gibt es keine Lösungen, dann sind die Gleichungen parallel, haben wir ein Lösunugstippelmit einem freien Parameter, dann schneiden sich die Geraden, haben wir zwei freie Parameter, dann sind die Ebenen identisch.

Wir können aber auch einfach die Ebenen gleichsetzen, dann berechnen wir r s lambda und my, diese werden dann wie immer ausgerechnet. Man muss dann wieder Prüfen, ob das selbe rauskommt, wenn man die Variablen r s einsetzt und wenn man my lambda einsetzt. Es muss ja eine Schnittgerade geben, die ist ja in jedem Fall identisch.

Schneiden sich Ebenen, dann entsteht eine Schnittgerade, die Ebenen haben jedoch auch Winkel zwischeinander.

Hierbei ziehen wir wieder zwei Normalenvektoren. Einen für die eine Ebene, einen für die andere und dann metalln wir das in die entsprechende Formel.
Cos φ= /n1*n2/ DURCH /n1/*/n2/ wenn der Winkel größer als null und kleiner als 90 Grad ist

Fertig
λμλμ