Stochastik
alle Zufallsversuche lassen sich mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung mathematisch ergründen.
Meist wird zunächst eine Tabelle erstellt wie häufig ein bestimmtes Ereigniss ist. Wenn wir zum Beispiel erfahren wollen wie oft auf einem Glücksrad welches Feld anzutreffen ist, bei 10 000 Versuchen, notieren wir die Ergebnisse von jedem einzelnen Versuch und fassen diese dann in einer Tabelle zusammen. Aus dieser Tabelle lassen sich dann weitere Werte herauslesen.
Die Begriffe und Abkürzungen
P für Wahrscheinlichkeit
relative Häufigkeit
absolute Häufigkeit
sollten wir uns merken.
Unter P versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der Male wo der gesuchte Wert erschienen ist und die relative Häufigkeit bezeichnet die Häufigkeit des Auftretens relativ zu den Versuchen ( ist absolute Häufigkeit /Versuche ). Wenn wir also das Glücksrad 100 Mal drehen und drei Mal das Feld Null kommt, dann ist die absolute Häufigkeit 3. Also recht oft könnte man meinen. Erst wenn man genauer hinschaut und 3 / 100 berechnet, also 0,03 stellt man fest, dass es gar nicht so oft vorkam, das dieses Feld erschien. Wenn wir die P ausrechnen wollen, dann betrachtet man die Anzahl aller Felder ( unser Glücksrad hat 10 Felder ) und die Anzahl der Treffer: 1 Feld nämlich das mit der Null und bekommen eine Wahrscheinlichkeit von 0,1 oder 1 zu 10 (1:10) oder 1/10.
Bei Zufallsversuchen ist es dem Zufall überlasssen welches Ergebnis eintritt. Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Versuches kann man als S oder Ω
Laplace Regel für Ergebnisse
für einen Laplace Versuch gilt, dass die Wahrscheinlichkeit P ( a) für ein Ergebnis aus der Menge S sich mit P(a)= 1/ Anzahl aller möglichen Ereignisse errechnet
Best of Stochastik
von Hilke Unglaube
Für Sarah, Merle und Lone
und alle, die sich mit der Wahrscheinlichkeitslehre plagen
Einleitung
Die Stochastik und Statistik, sie hängen eng zusammen, begegnet uns auf zahlreichen verschiedenen Wegen. Die Bedeutung des wichtigen Themas kann man meist erst ermessen, wenn man einmal mit Wahrscheinlichkeiten gearbeitet hat und sich einen Begriff von dem umfangreichen Wirken gemacht hat. Diese kleine Einführung soll ein Wegbegleiter sein, der durch die Untiefen dieses mathematischen Bereiches hilft und unterrichtsbegleitend in der Nachhilfe eingesetzt wird.
Ф
Ergebnisse ω Versuchsergebnisse Ω
ωЄA tritt ein, ω έA trat nicht ein
A U B Vereinigung tritt ein wenn A oder B eintritt
A∩B= Durchschnitt ( wenn A und B eintreten)
à ist ein sogenanntes Komplementärereigniss, das heißt es tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt.
A∩B≠nicht leere Menge ist disjunkt, das bedeutet, dass A und B nicht gleichzeitig auftreten können.
Relative und absolute Häufigkeit
Betrachten wir nun ein Ereignis, bei dem es zu einem erwünschten Ergebnis kommt, so müssen wir zwischen absoluter und relativer Häufigkeit differenzieren.
Absolute Häufigkeit benennt die Anzahl der aufgetretenen Treffer, während relative Häufigkeit das Auftreten in Bezug zu den Versuchen darstellt.
Beispiel:
Lone wirft einen Würfel acht Mal, bei jeder 6 darf sie sich ein Geschenk aussuchen. 6En sind somit die Treffer, 8 ist die Anzahl der Versuche. Nun hat sie bei den 8 Versuchen drei Mal eine 6 geworfen.
Die absolute Häufigkeit beläuft sich auf drei, da sie drei Mal eine Sechs geworfen hat.
Die relative Häufigkeit wird wie folgt berechnet
absolute Häufigkeit
- - - - - - - - - - - - -= In unserem Fall beläuft sie sich auf 0,375 ( 3 durch 8)
Anzahl der Versuche
Die absolute Häufigkeit gibt an wie oft eine Zahl gefallen ist oder ein anderes Ereignis eingetreten ist. Die relative Häufigkeit zeigt auf wie oft ein Ereignis eingetreten ist in Bezug auf die Häufigkeit der Versuche. Würfel ich nur einmal und habe eine sechs ist das natürlich deutlich seltener der Fall / unwahrscheinlicher, als wenn ich 5 Mal würfele und dann eine sechs erscheint.
Quellen:
Bosch/ Wolff: Grundkurs Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik , Westermann, Braunschweig 1978
Griesel, Heinz; Gundlach, Andreas; Postel, Helmut; Suhr, Friedrich: SII Elemente der Mathematik, Gesamtband mit neuen Technologien, Schroedel, 2006