Merkzettel zur Abituraufgabe von
How to make a Funktionsgleichung
1. Leiten Sie die Funktionsgleichung von K her
-Spickzettel zum Aufstellen von Funktionsgleichungen aus gegebenen Werten
1. Um welchen Funktionsgrad handelt es sich?
Funktion 1. Grades f(x)=mx+b
Funktion 2. Grades f(x)=ax²+bx+c
Funktion 3. Grades f(x)=ax³+bx²+cx+d
Funktion 4. Grades f(x)=ax^4+bx³+cx²+dx+e
2.Welche Informationen können wir aus dem Text entnehmen
Punkt f(x)=y
Nullstelle f(x)=0
Hochpunkt oder Tiefpunkt f´(x)=0
Wendepunkt f´´(x)=0
Wendetangente = Tangente, die durch den Wendepunkt geht. x Koordinate vom Wendepunkt einsetzen in 1. Ableitung der x Wert der herauskommt ist die Steigung
Steigung der Tangente erste Ableitung ergibt Steigung von f (x )
Aufgabe
Weil wir einen Wendepunkt haben müssen wir diese allgemeine Funktion zwei Mal ableiten
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f´(x)=3ax²+2bx+c
f´´(x)=6ax+2b
Jetzt gucken wir welche Funktionspunkte wir aufstellen können
Den Wendepunkt können wir einmal als Punkt verwenden ( das erste ) und dann noch mal die Wendepunktbedigung anwenden f´´ (x)=0, wie wir das aus der Kurvendiskussion kennen
f(2)=14
f```(2)=0
Wenn man Steigung und Tangenten liest, dann ist immer die erste Ableitung betroffen. Da es sich um eine WENDEtangente handelt nehmen wir die x Korrdinte vom Wendepunkt. Wenn man die statt x in die erste Ableitung einsetzt, dann kommt die Steigung raus, das ist die Gleichung
f´(2)=3
Jetzt ergibt sich die Gleichung aus der Tatsachen, dass wir keine Kosten haben wenn wir nix herstellen/machen
f(0)=0
Im nächsten Schritt bitte die Gleichungen nehmen die angegbeen sidn und statt x die Zahl in der () einsetzen
I 8a+4b+2c+d=14
II d=0
III 12a+2b=0
IV 12a+4b+c=3
Jetzt musst Du a b c und d ausrechnen, wir verwenden das Einsetzverfahren
d=0 das können wir in I einsetzen
I 8a+4b+2c+0=14
II d=0
III 12a+2b=0
IV 12a+4b+c=3
IV stellen wir nach c um
I 8a+4b+2c+0=14
II d=0
III 12a+2b=0
IV c=3-12a-4b
und setzten das dann für c ein
I 8a+4b+2( 3-12a-4b)=14
II d=0
III 12a+2b=0
IV c=3-12a-4b
Jetzt klammer ausmultiplizieren
I 8a+4b+2( 3-12a-4b)=14
I 8a +4b +6-24a -8b-14=0
I -16a -4b -8=0
So ergibt sich das neue System
I -16a -4b =8
II d=0
III 12a+2b=0
IV c=3-12a-4b
Jetzt III nach b umstellen
I -16a -4b =8
-4b= 8 +16a
b = -2-4a
III 12 a +2b=0
12a+2(-2-4a)=0
12a -5-8a=0
4a-4=0
a=1
Das setzen wir ein in II
b=-2-4mal1
b=-6
in IV
c= 3-12a-4b
c= 3-12+24
c=15
K(x)=ax³+bx²+cx+d
K(x)=1x³-6x²+15x+0
http://feakadella.blog.de/2011/04/12/maddecaeaeaeaeaemp-11-goerls-funktionsgleichung-aufstellen-merkliste-10992748/
-Gleichungen mit dem Taschenrechner ausrechnen
http://casio-fx-991.blogspot.de/2009/08/gleichungssysteme-losen.html
Film zeigen
Die Ertragsfunktion
E(X)=9x wird angegben
Berechnen Sie den Schnittpunkt
wenn man etwas schneidet dann setzt man es immer =
also K(x) = E(x)
1x³-6x²+15x+0=9x
Jetzt müssen wir alles auf eine Seite bringen und x ausrechnen
Weil es sich um eine Gleichnung mit nur x dabei handelt können wir ein x dann schon mal ausklammern
1x³-6x²+15x+0=9x //-9x
x³-6x²+6x=0
x(x²-6x+6)=0
Ein Schnittpunkt liegt, wegen dem Ausklammern, also bei x=0, den nächsten ermitteln wir indem wir das mit der PQ Formel ausrechnen was in der () rauskommt
x²-6x+6=0
x1/2= 3PLUSMINUSWURZEL aus 3²-6
x1 =3 plus 1,73 =4,73
x2 = 3 minus 1,73 = 2,63
Das sind die Schnittpunkte, bzw deren x Koordninaten
Jetzt setzen wir diese drei Punkte für x in f(x) ein und erhalten die y Werte
Kann man auch mit dem TR lösen
Gleichsetzen
alles auf eine Seite holen
Mode
EQN
dann das vierte auswählen
alles eingeben ohne x und mit Vorzeichen
fertig
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E Funktion
Gesucht ist das MINIUM
also wo das am NIEDRIGSTEN ist also muss man überlegen wie man an ein Minimum einer Funktion kommt
man braucht die erste Ableitung
f´(x)
abgeleitet wird mit HIlfe der Produkt und der Kettenregel
Kettenregel u´(v) mal v´
f(x)= 10 mal t mal e hoch -1/4
die Ableitung ergibt sich
f´(x)= 10 mal e hoch -1/4 minus 1/4 mal 10 mal t mal e hoch -1/4
u = 10t u´= 10
v = e hoch -1/4 v´= -1/4 e hoch -1/4
v´ergibt sich aus
u = e hoch -1/4
u´=-1/4 e hoch -1/4
http://feakadella.blog.de/2013/11/15/abituraufgabe-e-funktion-hamburg-16484425/
auklammern
f´(t)= (10 - 5/2t ) e hoch -1/4
Wenn man das Minimum ausrechnen will rechnet man jetzt
f`(t)=0
laut Lösung verwenden wir f´´(t)=0
und müssen t ausrechnen
wir haben das jetzt mal schnell mit dem TR gemacht indem wir die Funktion eingegeben haben, mit x statt mit t und dann Shift Calc gedrückt haben. Damit kann man Nullstellen und so was ausrechnen
also haben wir eingegeben
(5/8x-5)e Hoch ( -x/4) SHIFT CALC
und dann haben wir raus
x=8 und das ist laut Lösung richtig
das setzten wir jetzt statt x in die FUntkionsgleichung ein
f(8)= 10 mal 8 mal e hoch ( minus 8/4) = 10,8268
Zu Fuss ausgerechnet ergibt sich
e hoch ( -t/4( ( 5/8t-5)=0 Logarithmus anwenden
-t/4 log e ( 5/8t-5)=0
log e fällt weg
-t/4 ( 5/8t-5)=0
mal vier
-t (20/8t-20)=0
das in der Klammer nach t umstellen
20/8t-20=0
+20
20/8t= 20
mal acht durch 20
t = 8
Bestätigung das es sich um ein Minimum handelt erreicht man indem man f`(0) ungleich 0
f´(8)<0
da die t immer in 1000 Er Einheiten angebenen werden setzt man t =8 in f(t) für t ein und erhält
10,8268, was mal 1000 multipliziert dann 10826 Stück ergibt, gerundet 10830 Stück pro Monat
Fläche berechnen
wir haben die Funktion
F(k) =S
dt= dt
Stammfunktion bilden mit partieller Integration
die Formel ist