Hohe Karten (10,J,Q,K,A) sind für den Spieler vorteilhaft, während niedrige Karten vorteilhaft für die Bank sind. Mit mehr 10en und Assen im Spiel, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler einen Black Jack erhält. Natürlich ist dieser Vorteil auch für die Bank gegeben, aber der Spieler gewinnt bei einem Black Jack im Verhältnis 3:2 (also das 1,5fache seines Einsatzes) während er bei einem Blackjack der Bank nur seinen einfachen Einsatz verliert. Darüber hinaus kann der Spieler bei vielen hohen Karten im Spiel häufiger durch Verdoppeln (Black Jack double down) gewinnen und die Bank wird häufiger durch “bust” verlieren (also mehr als 21 Punkte haben), da die Bank weiterhin weiter bei 16 ziehen muss, auch wenn viele hohe Karten im Spiel sind.
Die Vorteile des Spielers
Gewinnt ein Spieler mit Black Jack, so gewinnt er im Verhältnis 3 : 2; gewinnt jedoch der Croupier mit Black Jack, so gewinnt er nur im Verhältnis 1 : 1. Der Spieler ist frei in den Entscheidungen, ob er eine Karte verlangen soll oder nicht, bzw. wie er ein Ass bewerten soll – und er kann diese Entscheidungen abhängig vom Wert der ersten Karte des Croupiers treffen. Der Croupier aber ist in seiner Spielweise an eine starre Regel gebunden. Der Spieler kann mit einem aussichtsreichen Blatt den Einsatz vor einem Kauf verdoppeln und damit den Croupier zwingen, das Spiel zum doppelten Betrag fortzusetzen. Der Spieler kann zwei gleichwertige Karten teilen und so möglicherweise mit zwei Händen gegen den Croupier gewinnen.
Der Vorteil der Spielbank
Diesen Vorteilen steht natürlich ein – versteckter – Vorteil der Spielbank gegenüber. Wenn ein Spieler 21 Punkte überschreitet, so verliert er seinen Einsatz sofort. Wenn nun in demselben Spiel der Croupier ebenfalls die 21 Punkte überschreitet, so bleibt das Spiel für den Spieler verloren und gilt nicht als unentschieden, er erhält ja seinen Einsatz nicht mehr zurück. Aus dieser Ungleichheit resultiert der Bankvorteil, der mathematisch dem Erwartungswert für die Einnahme der Spielbank pro gesetztem Euro entspricht.
Mathematische Analyse
Die erste mathematische Analyse des Black Jack wurde 1956 veröffentlicht. Dabei wurde eine optimale Strategie für den Spieler unter der Annahme berechnet, dass mit unendlich vielen Paketen gespielt wird, d. h. dass etwa die Wahrscheinlichkeit, als nächste Karte z. B. ein Ass zu ziehen, stets 1/13 beträgt – unabhängig davon, wie viele Asse und wie viele Karten bereits aus dem Schlitten gezogen worden sind. Die so erzielten Ergebnisse stellen eine gute Näherung dar für das reale Spiel mit beispielsweise 312 Karten.
Wenn ein Spieler eine Runde mit einem Einsatz von 100 € beginnt und er sich in jeder Situation im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung optimalentscheidet, so steigert er – infolge der Möglichkeiten zu teilen bzw. zu verdoppeln – seinen Einsatz im Mittel auf 111,67 € und verliert im Mittel 0,53 € je Spiel. Der Bankvorteil beträgt dann gerade 0,475 %, was verglichen mit anderen Spielen, die in Spielbanken zu finden sind, sehr niedrig ist.
Zum Vergleich: Der Bankvorteil bei den einfachen Chancen des Roulette beträgt 1,35 %, bei den mehrfachen Chancen 2,70 %.
Ablauf der mathematischen Analyse
Die mathematische Analyseerfolgt bedingt zur offenen Karte der Bank: Zunächst wird für jede offene Karte der Bank die bedingteWahrscheinlichkeitsverteilung der Bankresultate berechnet. Darauf aufbauend wird, wieder bedingt zur offenen Bankkarte, umgekehrt zur Chronologie des Spielverlaufs jede Entscheidungssituation des Spielers untersucht. Konkret wird für jede Entscheidungssituation diejenige Entscheidung bestimmt, die für den Spieler am günstigsten ist, das heißt für welche der Erwartungswert des Saldos Gewinn minus Einsatzmaximal ist. Die dafür notwendigen Berechnungen sind rekursiv da sie jeweils auf den Erwartungswerten basieren, die bereits zuvor zu chronologisch späteren Spielsituationen berechnet wurden. Schließlich wird aus den zu den offenen Bankkarten bedingten Erwartungswerten ein absoluter Erwartungswert berechnet.
