Im Vergleich zu vielen seiner Mitbewerber begann der 17-jährige erst relativ spät mit dem Kartsport. Als “Späteinsteiger” in den Motorsport stieg David im Jahr 2011 direkt in die Seniorenklasse ein und kann somit nicht auf eine langjährige klassische Bambini- und Juniorenzeit wie viele seiner Konkurrenten zurückblicken. Die erfolgreiche Etablierung in den Kartsport gelang ihm trotzdem innerhalb kürzester Zeit. Neben dem Start in 2011 in der NAKC (X30 Senioren) nahm David ab 2012 parallel dazu auch im ADAC Kart Masters teil.
In beiden Serien konnte er durch Top-10-Platzierungen in der Jahreswertung erstmalig auf sich aufmerksam machen. Das Saisonhighlight war dabei sicherlich der Doppelsieg beim NAKC-Lauf in Oschersleben. 2013 folgte der Start im ADAC Kart Masters und der Vega Trophy. Bei nur zwei Rennstarts in der Vega Trophy gelang ihm auf Anhieb ein Sieg. Im stark besetzten ADAC Kart Masters gehörte Kolkmann immer zu den schnellen Fahrern und war jederzeit ein Kandidat für Top 10 Platzierungen.
Ebenfalls in 2013 erfolgte die Teilnahme an einem Formelsport-Einführungslehrgang in Alkersleben bei JBR Motorsport & Engineering unter Leitung von Ex-DTM-Fahrer Frank Jelinski. Dort konnte Kolkmann auf Anhieb sein Talent unter Beweis stellen. Aufgrund seiner dabei gezeigten Leistung testete er einige Wochen später auf der Formel 1-Strecke in Hockenheim, wo sich der hervorragende Eindruck des Teams vom Einführungslehrgang bestätigte. Weitere Testfahrten auf dem Lausitzring und in Oschersleben folgten. Insgesamt zeigte Kolkmann bei diesen Testfahrten sehr gute und vielversprechende Ergebnisse.