Abituraufgabe aus HH, niedriges Anforderungslevel
v(t)=8⋅t ⋅e-0,4t
f(x) = g(mx+b) ⇒ f′(x) = m·g′(mx+b)
• Anwendung der Kettenregel:
v '(t)=8⋅(e-0,4t +t(-0,4)e-0,4t )=8⋅ e-0,4t ⋅ (1-0,4t)
oder auch Vermischung von Kettenregel und Produktregel
Produktregel f(x)= u v f´(x)= u´v*uv`
f(x) = e hoch u f´(x)=u´mal e hoch u
Kettenregel: f(x) = u(v(x))
Aufgabe aus der Hamburger Prüfung ( siehe Gurkenaufgabe ) ableiten
f(x)= 8te hoch -0,4t
u= 8t u´= 8 v= e hoch -0,4t v´ muss mit der Kettenregel abgeleitt werden
abzuleiten = e hoch -0,4t
b = -0,4t b´= -0,4
Ableitung ist b´mal e hoch b
also v´= -0,4 e hoch -0,4t
f´(x)= u´v+uv´
f´(x)=8e hoch -0,4t+8t -0,4 e hoch -0,4t=8⋅ e-0,4t ⋅ (1-0,4t)Damit ist bestätigt, dass der angegebene Term richtig ist.
Zeitpunkt des minimalen und maximalen Absatz berechnen:
Immer wenn man die Worte MINIMAL oder MAXIMAL liest ist klar, dass man die erste Ableitung verwenden muss. Diese ist
f´(x)=8⋅ e-0,4t ⋅ (1-0,4t) um ein Minimum oder Maximum zu brechnen gilt f´(x)=0 als
8⋅ e-0,4t ⋅ (1-0,4t)=0
Überlegung : Wenn der Term in der KLammer =0 ist, dann ist der gesamte Term 0, weil irgendwas mit 0 malgenommen ergibt 0
also 1-0,4t=0
-0,4t =-1
t=2,5
Das t steht für Time, also die Zeit. Jetzt müssen wir den Gehalt nach 2,5 Monaten berechnen ( also statt t 2,5 einsetzen
f(2,5)= 736.000 Ampullen
• '( ) 0 8 0,4 0 1 0,4 0 1 2,5
0,4
v t = e- t = - t = t = =
v(2,5) 8 2,5 e-1 20 7,3575888...
e
= ⋅ ⋅ = »
Der maximale Absatz wird nach 2,5 Monaten mit etwa 736.000 Ampullen
erreicht.
Wenn der Absatz stark zurückgeht, lassen sich die Kosten am besten reduzieren, wenn
rechtzeitig eine Produktionslinie vollständig abgeschaltet wird.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt der stärksten Abnahme des Absatzes.
Stärkste Abnahme = Wendepunkt
also die 2. Ableitung verwenden
v´´(t)= 3,2ehoch-0,4t mal ( -2+0,4t)
Jetzt berechnen wir die Wendepunkte
3,2ehoch-0,4t mal ( -2+0,4t)=0
1. Wendestelle t=0
2.Wendstelle -2+0,4t=0
2=0,4t durch 0,4 t
t=5
Betrachten wir nun die Zeichnung, stellen wir fest, dass der Graph bei t=0 zunächst ansteigt, um dann bei t=5 abzusinken.
Somit lassen sich die Kosten bei t=5 am stärksten reduzieren.
Der durchschnittliche monatliche Absatz, den die Einkaufsabteilung für die Materialplanung
benötigt, kann mit einer Stammfunktion V von v ermittelt werden.
Zeigen Sie, dass die Funktion V mit V (t)=10⋅ (5-5e-0,4t -2te-0,4t ) eine Stammfunktion
von v ist, und ermitteln Sie den durchschnittlichen monatlichen Absatz während der ersten
sieben Verkaufsmonate. (20P)
Erkärung: Um eine Stammfunktion zu bekommen muss man die Funktion v(x) nicht ableiten, sonderd aufleiten. Um also die ursprüngliche Funktion zu erhalten müssen wir die Stammfunktion einfach einmal ableiten
V (t)=10⋅ (5-5e-0,4t -2te-0,4t )
ableiten
die Zehn bleibt stehen, die Fünf fällt weg: da fünf abgeleitet nix ist. Die -5e-0,4t wird zu 2e -0,4t weil man die u`mal v nimmt also -5 mal -0,4. Mit dem zweiten Teil wird es dann aber komplizierter.
Die -2 bleiben stehen ( kommen also vor die KLammer in die Klammer)
dann ist wieder u= -2t u`=2 v= e -0,4t v´= -0,4 e -0,4t nach der Produktregel ergibt sich dann
-2t e -0,4t+2 -0,4 e -0,4t
V ´(t)=10⋅(2e -0,4t -2(t e -0,4t+e -0,4t))
V ´(t)=10⋅(2e -0,4t -2(t e -0,4t+e -0,4t)) die heben sich gegenseitig auf
V ´(t)=10⋅0,8te -0,4t..........................
Erkärung: durchschnittlich ist ein wichtiges Wort das man nicht überlesen sollte. Wenn ihr die durchschnittliche Menge in sieben Monaten ausrechnen sollt müsst ihr erstmal die gesamte Menge ausrechnen ( Integrieren ) und diese dann durch die Anzahl der Monate teilen. Dadurch ergibt sich:
1/7 [V(t)]7 0= 1/7 [10⋅ (5-5e-0,4t -2te-0,4t ) ]7 0= 1/7 [10⋅ (5-5e-0,4*7 -2te-0,4*7 ) ]=5,452
d) Berechnen Sie näherungsweise auf einen vollen Monat gerundet die Zeit, in der von der
erwarteten Gesamtabsatzmenge von 50 Produktionseinheiten 70 % verkauft sind. (10P)
Hinweis: Verwenden Sie direkt die in Teil c) gegebene Stammfunktion V.
Erklärung: Wir müssen zunächst mal ausrechnen wie viel 70 Prozent von den 50 Produktionseinheiten sind. Darum berechnen wir 50 durch 100 mal 70 und erhalten das die 70 Prozent erreicht sind, wenn 35 Produktionseinheiten verbraucht sind.
Jetzt fertigen wir eine Wertetabelle an. Dies geht entweder mit
Mode
Table
Funktion eintegen ( statt t schreiben wir x). Das x und das e erreichen wir mit Alpha und dann ) bzw 10 hochx
Wir stellen fest, dass wir bei t=6 auf 34,6 Einheiten kommen, dies kommt dem schon sehr nahe.
Jetzt gehen wir in 0,1er Schritten hoch ( und geben statt t erst
e) Während der ersten sieben Monate wird ein Verkaufspreis von 5 Millionen Euro pro Produktionseinheit
erzielt. Danach fällt der Verkaufspreis auf 3 Millionen Euro pro Produktionseinheit.
Die Rechte für die nach sieben Monaten von 50 Produktionseinheiten noch verbliebene Restabsatzmenge
sollen an einen anderen Hersteller verkauft werden.
Ermitteln Sie, welcher Erlös für die restliche Absatzmenge zu erwarten ist.
Bis zum Ende des 7. Monats sind verkauft V(7) ˜ 38,4 Einheiten.
Für die Restabsatzmenge (50 – 38,4 = 11,6 Einheiten) ist ein Preis von 3 Mill. €
pro Einheit anzusetzen: 11,6·3 = 34,8
Es sind also (theoretisch) 34,8 Millionen Euro zu erzielen
Zur Zeit des Produktionsmaximums hat die 1. Ableitung von w eine Nullstelle.
'( ) ( ) (1 )
'( ) 0 1 1
6
w t a e bt bte bt a e bt bt
w t t b
b
= ⋅ - - - = ⋅ - ⋅ -
= = =
w' hat wegen des linearen Terms (1 – bt) an der Stelle t = 6 einen Vorzeichenwechsel
von Plus nach Minus. Die Produktionsmenge erreicht dort also ein
Maximum.
(6) 6 1 10 10 5 4,53
6 3
w =a⋅ ⋅e- = a= e = e»
Die Funktionsgleichung lautet: 1
( ) 4,53 6 t w t t e- = ⋅ ⋅ .
