I.1 Netbook-Vermarktung
Der Computerladen AIKON produziert und
vermarktet Netbooks. Es wird davon ausgegangen,
dass die gesamte tägliche Produktion abgesetzt
wird. Die täglichen Gesamtkosten in Euro
für die Produktion hängen von der Anzahl x
der produzierten Netbooks ab und werden durch
eine Kostenfunktion K beschrieben.
Zur Kostenentwicklung sind den Produktionsplanern
die folgenden Daten bekannt:
Anzahl x der produzierten Netbooks pro Tag 0 80 150
Gesamtkosten K in Euro pro Tag 12 450 32 850 38 100
Darüber hinaus haben die Produktionsplaner die Information, dass bei einer Produktion von
80 Netbooks die Grenzkosten K¢ 47 Euro pro Stück betragen, das heißt K(80) 47 .
a) Bestätigen Sie, dass K(x)=0,02x3 -5,8x2 +591x+12 450 bei den gegebenen
Informationen die Gleichung einer passenden Kostenfunktion darstellt.
Beschreiben Sie die inhaltliche Bedeutung von K(80) . (15P)
Die Produktionsplaner betrachten die Kostenentwicklung bei Erhöhung der Produktion genauer.
b) Bestimmen Sie die Produktionsmenge, bei der die Grenzkosten minimal sind, und
markieren Sie den zugehörigen Punkt auf dem Graphen in der Anlage.
Bestimmen Sie die Höhe der minimalen Grenzkosten.
Interpretieren Sie die Bedeutung der minimalen Grenzkosten im Sachkontext. (20P)
Das Computerunternehmen verkauft die Netbooks zu einem Preis von jeweils 599 Euro.
c) Geben Sie die Gleichung der Erlösfunktion E an und zeichnen Sie den Graphen von E
in das Koordinatensystem in der Anlage.
Bestätigen Sie die Gleichung der Gewinnfunktion G mit
G(x)=-0,02x3 +5,8x2 +8x-12 450 . (15P)
d) Bestätigen Sie, dass das Unternehmen mit Gewinn produziert, wenn mindestens 51 und
höchstens 283 Netbooks hergestellt werden.
Bestimmen Sie die Produktionsmenge, bei der maximaler Gewinn erwirtschaftet wird. (25P)In der Zwischenzeit ist es zu einem Überangebot auf dem Netbookmarkt gekommen. Die Konkurrenz
versucht, die Firma AIKON vom Markt zu drängen. Sie bietet dazu qualitativ gleichwertige Netbooks
zu einem Preis von 300 € an. Die Geschäftsleitung der Firma AIKON beschließt, ebenfalls den Preis
deutlich zu senken. Sie schlägt hierzu vor, das Minimum der Stückkosten k mit k(x) K(x)
x
= zu
bestimmen.
e) Weisen Sie nur unter der Verwendung der ersten Ableitung von k nach, dass die tägliche
Produktionsmenge, bei der die Stückkosten k am geringsten sind, in guter Näherung bei
158 Netbooks erreicht wird.
Ermitteln Sie, welchen Verkaufspreis das Computerunternehmen für ein Netbook
mindestens verlangen muss, wenn die produzierten 158 Netbooks verlustfrei verkauft
werden sollen.
Begründen Sie, warum sich AIKON wegenseiner Konkurrenten derzeit noch keine
ernsthaften Sorgen machen muss.http://www.mint-hamburg.de/abitur/Mat1-KFgA-LM-AB-2011.pdf
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